در نهایت مکانیک کوانتومی بهصورت کاملاً با اعداد حقیقی فرموله شد و این معمای ریاضیاتی در دل نظریه را به دورهای نوین از بررسی سوق داد.
عدد موهومی i، اختراع ریاضیاتی که بهعنوان ریشهٔ دوم عدد منفی یک تعریف میشود، مدتهاست که حضور ناخوشایندی در معادلات فیزیک کوانتومی داشته است.
Michele Sclafani برای مجله Quanta
یک قرن پیش، رفتار عجیب اتمها و ذرات بنیادی، فیزیکدانان را بر آن داشت نظریهای جدید از طبیعت تدوین کنند. این نظریه، مکانیک کوانتومی، بلافاصله موفق شد و با محاسبات دقیق از انتشار و جذب نور توسط هیدروژن، ارزش خود را ثابت کرد. اما یک مشکل وجود داشت. معادلهٔ مرکزی مکانیک کوانتومی شامل عدد موهومی i، ریشهٔ دوم عدد منفی یک بود.
فیزیکدانان میدانستند i یک ساختار ریاضیاتی است. مقادیر فیزیکی حقیقی مانند جرم و مومنتم هنگام توان دوم هرگز مقدار منفی ندارند. با این حال این عدد غیرواقعی که i2 = −1 رفتار میکند، بهنظر میرسید در قلب دنیای کوانتومی قرار داشته باشد.
پس از استخراج معادلهای پر از i — که اساساً قانون حرکت موجودات کوانتومی بود — ارون شرودینگر امید داشت که این معادله با نسخهای کاملاً حقیقی جایگزین شود. (او در سال ۱۹۲۶ نوشت: «بیتردید در آن زمان، نوعی سادگی وجود دارد»). علیرغم عدم رضایت شرودینگر، i همچنان باقی ماند و نسلهای جدید فیزیکدانان بدون نگرانی خاصی از معادله او استفاده کردند.
سپس، در سال ۲۰۲۱، نقش اعداد موهومی در نظریهٔ کوانتومی توجه تازهای را جلب کرد. یک گروه از پژوهشگران راهی برای تعیین تجربی اینکه آیا i برای نظریهٔ کوانتومی ضروری است یا صرفاً یک راحتی ریاضیاتی است، پیشنهاد دادند. دو تیم بهسرعت این آزمایشهای پیچیده را انجام دادند و بهنظر میرسید شواهد غیرقابل انکار اینکه نظریهٔ کوانتومی به i نیاز دارد، بهدست آوردند.
اما در همین سال، سلسلهای از مقالات این نتیجهگیری را وارونه کردند.
ارون شرودینگر از این که معادلهٔ نامگذاریشدهٔ خود از اعداد موهومی استفاده میکند، راضی نبود. او امیدوار بود جایگزینی برای آن بیابد. اما معادلهٔ او همچنان پابرجاست.
حوزهٔ عمومی
در ماه مارس، گروهی از نظریهپردازان مستقر در آلمان به مطالعات سال ۲۰۲۱ رد کردند و نسخهای از نظریهٔ کوانتومی با اعداد حقیقی ارائه دادند که دقیقاً معادل نسخهٔ استاندارد است. دو نظریهپرداز در فرانسه نیز با فرمولاسیون خود از نظریهٔ کوانتومی با اعداد حقیقی ادامه دادند. و در سپتامبر، پژوهشگر دیگری سؤال را از منظر رایانش کوانتومی بررسی کرد و به همان نتیجه رسید: i در نهایت برای توصیف واقعیت کوانتومی لازم نیست.
اگرچه نظریههای مبتنی بر اعداد حقیقی استفاده صریح از i را حذف میکنند، اما نشانههای محاسبات خاص آن را حفظ مینمایند. این مسأله برخی را بر آن میدارد که بپرسند آیا جنبهٔ موهومی مکانیک کوانتومی — یا حتی خود واقعیت — واقعاً از بین رفته است؟
جِل نُرث، فیلسوف فیزیک در دانشگاه راتگرز گفت: «فرمولبندی ریاضیاتی ما را در استنباط طبیعت جهان فیزیکی راهنمایی میکند.»
مقادیر ناممکن
در سال ۱۶۳۷، زمانی که در آمستردام در اوج جنون لاله (هیجان هلندی برای گلها که به ارزشهای غیرممکن برای پیازهای لاله منجر شد)، رنه دکارت با معادلاتی مواجه شد که حل آنها نیز بهنظر میرسید مقادیر ناممکن داشته باشند. بهعنوان مثال، معادلهٔ x3 − 6x2 + 13x − 10 = 0 را در نظر میگیرد؛ دکارت نوشت که ریشههای آن «همیشه حقیقی نیستند؛ گاهی تنها موهومیاند. … گاهی هیچ مقداری که با آنچه تصور میکنیم مطابقت داشته باشد، وجود ندارد.» سه عددی که میتوانید بهجای x قرار دهید، ۲، ۲ − i و ۲ + i هستند. دو عدد آخر، که هر یک دارای بخش حقیقی و موهومی به شکل a + ib هستند، بعدها «اعداد مرکب» نامیده شدند.
دکارت این اعداد را با تحقیر مینگریست، اما اعداد مرکب بعدها بهدلیل کاراییشان در حوزههایی همچون هندسه، اپتیک و تحلیل سیگنال پذیرفته شدند.
شرودینگر بهنابرابری استفاده از آنها در نظریهٔ کوانتومی اذعان کرد. معادلهٔ او تحول تابع موج را توصیف میکند؛ تابعی که نمایانگر حالتهای ممکن کوانتومی یک جسم است. (این حالتها میتوانند همانند امواج بهطور تخریبی و سازنده تداخل داشته باشند.) تابع موج شرودینگر مقدار مرکبی داشت، اگرچه اندازهگیریهای واقعی سیستمهای کوانتومی همیشه مقادیر حقیقی برمیگردانند. بیل ووتِرز، نظریهپرداز اطلاعات کوانتومی در کالج ویلیامز گفت: «نظریهٔ کوانتومی واقعاً اولین نظریهٔ فیزیکی است که اعداد مرکب دقیقاً در وسط آن جای گرفتهاند.»
یک راه برای نمایش عدد مرکب به شکل a + ib، نشان دادن آن بهعنوان نقطهای بر روی صفحهای است که در آن a موقعیت بر روی محور x (که میتوان آن را خط عدد حقیقی تصور کرد) و b موقعیت بر روی محور موهومی y است. هر عدد مرکب یک پیکان، که بهعنوان بردار نامیده میشود، است که از مبدأ به سمت مختصات مرکب (a، b) اشاره میکند. این بردارهای مرکب قوانین ریاضیاتی غیرمعمول اعداد مرکب را رعایت میکنند: بهعنوان مثال، ضرب در i بردار را به اندازهٔ ۹۰ درجه میچرخاند.
این ویژگیها باعث شد که این اعداد بهطور طبیعی برای توصیف حالات کوانتومی تابع موج مناسب باشند — همانند بردارهایی که قوانین ترکیبی عجیبی را رعایت میکنند.
در یک مقالهٔ سال ۲۰۲۱ در Nature، مارک-اولیویه رنو (چپ)، نیکولا جیسین و شش همکارش، آزمایشی طراحی کردند که هر نظریهٔ کوانتومی مبتنی بر اعداد حقیقی را رد میکند. پس از آن این آزمایش انجام شد. اما کارهای امسال نشان دادند که این آزمایش بر پایهٔ فرضی قابل اعتراض بنا شده بود.
Julie Dugast؛ Carole Parodi
فیزیکدانان بارها سعی کردند بردارهای معادل را با اعداد حقیقی تعریف کنند. در سال ۱۹۶۰، فیزیکدان سوئیسی ارنست استوکلبرگ نظریهٔ مکانیک کوانتومی با اعداد حقیقی را توسعه داد که تابع موج را از فضای دارای مقدار مرکب به فضایی حقیقی تبدیل میکرد و با چند ترفند باعث میشد اعداد حقیقی چرخشهای حول محور موهومی را شبیهسازی کنند. اما در حالی که نظریهٔ مرکبی فشرده بود، نظریهٔ حقیقی سنگین و دست و پاگیر شد. تابع موج برای دو ذره شامل چهار عدد مرکب بود؛ گسترش فرموله استوکلبرگ به دو ذره، توصیف را به ۱۶ عدد حقیقی ارتقاء داد.
علیرغم سنگینبودن نظریههای کوانتومی مبتنی بر اعداد حقیقی، در سالهای ۲۰۰۸ و ۲۰۰۹، دو گروه نشان دادند که میتوان از این نظریهها برای بازتولید نتایج استاندارد آزمایش بل — آزمونی حیاتی برای بررسی ویژگیهای نظریهٔ کوانتومی — استفاده کرد. «برای بسیاری از موارد، در واقع میتوانید با نظریهٔ حقیقی کنار بیایید»، ووترز گفت. اما آیا نظریهٔ حقیقی همیشه همان نتایج را تولید میکند؟
فرضیات کلیدی
در سال ۲۰۲۱، گروهی از پژوهشگران بههمراه نیکولا جیسین، فیزیکدان دانشگاه ژنو، دریافتند میتوانند مرزهای نظریههای مبتنی بر اعداد حقیقی را با پیچیدهتر کردن آزمون بل بررسی کنند.
بهصورت معمول، آزمایشهای بل شامل ایجاد یک جفت ذره «درهم» هستند: ذرههایی که حالات ممکنشان بههم پیوسته است، مانند فوتونهای دارای پلاریزاسیون همبسته. این ذرات جدا شده و به دو شرکتکننده به نامهای آلیس و باب فرستاده میشوند تا پلاریزاسیون خود را اندازهگیری کرده و نتایج را مقایسه کنند.
از بالا سمت چپ به صورت ساعتگرد: مایکل اپینگ، داگمار برُس، آنتون تراوشچکین، هرمان کامپرمَن و پدرو باریوس هیتا در یک مقالهٔ اخیر استدلال کردند که «استفاده از اعداد مرکب صرفاً یک راحتی است»، نه یک ضرورت.
از بالا سمت چپ: مرکز هوافضای آلمان؛ Nicolas Stumpe؛ با عنایت آنتون تراوشچکین؛ Ghislane Coulter-de Wit
تیم جیسین بهجای آن، یک آزمون بل سفارشی با دو منبع جداگانه ذرات درهم و سه شرکتکننده — آلیس، باب و چارلی — در نظر گرفت. با انجام محاسبات، دریافتند که برای یک نظریهٔ کوانتومی مبتنی بر اعداد حقیقی، سقفی برای همبستگی پلاریزاسیون ذرات درهم وجود دارد، در حالی که برای یک نظریهٔ کوانتومی مرکبی، این سقف بالاتر است. این دیگر مسألهای فلسفی یا محاسباتی نبود: یک آزمایش تجربی وجود داشت که میتوانست نظریهٔ کوانتومی مبتنی بر اعداد حقیقی را رد کند.
سرعاً پس از آن، گروهی در دانشگاه علم و فناوری چین (USTC) در هفئی پروتکل را اجرا کردند و دریافتند که همبستگیهای مشاهدهشده بین فوتونهای درهم بسیار بیش از حد مجاز برای نظریهٔ حقیقی است. اعداد مرکب بهنظر میرسیدند برای توصیف این حالات کوانتومی ضروری باشند.
اما این نتیجهٔ آماری قاطع، پرسشها را خاموش نکرد.
«اعداد مرکب صرفاً دو عدد حقیقی به همراه برخی قوانین محاسبهای هستند»، مایکل اپینگ، فیزیکدان مرکز هوافضای آلمان و یکی از نویسندگان مقالهٔ جدید آلمانی گفت. «چرا نمیتوانید فیزیک کوانتومی را فقط با اعداد حقیقی توصیف کنید؟»
«نظریهٔ کوانتومی نیازی به اعداد مرکب ندارد»، فیزیکدانان تیموتی هافرومون (چپ) و میشا وودز در عنوان یک مقالهٔ اخیر استدلال کردند.
با عنایت تیموتی هافرومون؛ دکتر ساموئل ادوین اسلیزاک
میسا وودز از École Normale Supérieure در لیون و تیموتی هافرومون از دانشگاه پاریس‑ساکلی، همنویسندگان مقالهٔ جدید فرانسه، نیز تردید داشتند. در مقالهٔ ۲۰۲۱، جیسین و همکارانش فرضی اساسی دربارهٔ «ضرب تنسور» — عمل ریاضی که بردارهای مرکبی توصیفکنندهٔ ذرهٔ آلیس و ذرهٔ چارلی را به یک حالت درهم ترکیب میکند — انجام دادند. آنها فرض کردند که نسخهٔ حقیقی نظریهٔ کوانتومی از همان فرمولبندی ریاضی برای ترکیب حالات استفاده میکند.
اما تیمهای فرانسه و آلمان استدلال میکنند که این شکل از ضرب تنسور برای نظریهٔ حقیقی اشتباه است. بهعنوان تشبیه، در فضای صاف، ضلع قطر یک مثلث راستزا همیشه a² + b² = c² است. اما این قاعده برای مثلثی در فضای خمیده، مانند سطح یک کره، برقرار نیست. استدلال اخیر، که توسط این دو تیم اتخاذ شده است، این است که ضرب تنسور استاندارد یک مورد خاص از یک کلاس عمومیتر قوانین ترکیببردار است. آنها قوانین ترکیبی متفاوتی را برای ایجاد نظریههای کوانتومی حقیقی توسعه دادند که دقیقاً همان پیشبینیها را که یک نظریهٔ کوانتومی مرکبی میدهد، تولید میکند.
تحولی جدید در رایانش کوانتومی نیز نشان میدهد که چگونه میتوان از اعداد مرکب اجتناب کرد. رایانشهای کوانتومی از «دروازههای منطقی» برای دستکاری بیتهای کوانتومی استفاده میکنند. یک دروازهٔ منطقی رایج به نام دروازهٔ T، بردار نمایانگر حالت بیت کوانتومی را حول صفحهٔ مرکب میچرخاند. در سپتامبر، کریگ گیدنی، کارشناس رایانش کوانتومی در Google Quantum AI، روشی یافت تا دروازههای T را از هر الگوریتم کوانتومی حذف کند — و بهصورت عددی نشان داد که رایانش کوانتومی به اعداد مرکب نیازی ندارد.
چیزی که بهطور طبیعی میآید
جِل نُرث، فیلسوف فیزیک در دانشگاه راتگرز، میپرسد چرا اعداد مرکب اینقدر برای مکانیک کوانتومی مناسب هستند.
Tori Repp
قابلیتپذیری نظریهٔ کوانتومی مبتنی بر اعداد حقیقی سؤالهای تحریکآمیزی را برانگیخته است. مهمترین آنها این است: چرا این نظریه بهطور چشمگیری پیچیدهتر است؟ این سؤال از زمان پیدایش مکانیک کوانتومی با ماست؛ شرودینگر سعی کرد با معادلهٔ موجی حقیقی کار کند اما به دلیل اینکه «برای مقاصد محاسباتی بهطوری فوقالعاده سادهتر بود»، به معادلهٔ مرکبی روی آورد، همانطور که در یادداشتهای خود نوشت.
امروزه بهنظر میرسد نظریهٔ کوانتومی بهطور صریح به i نیازی ندارد، اما شاید هنوز ویژگیای ذاتی در سادگیای که شرودینگر یافت، وجود داشته باشد. «نظریهٔ کوانتومی مرکبی، با ضرب تنسور طبیعیاش، همچنان بسیار مختصر، برازنده و از نظر ریاضی ساده است»، چوایانگ لو، فیزیکدان تجربی در USTC که بخشی از تیمی بود که آزمون بل سفارشی جیسین را اجرا کرد، گفت.
«حتی وقتی نظریهٔ کوانتومی را به اعداد حقیقی ترجمه میکنید، هنوز نشانهٔ ریاضیات اعداد مرکب را میبینید»، ووترز گفت.
حتی کسانی که نظریه را از اعداد مرکب رهایی دادند نیز اعتراف میکنند که این اعداد تطبیق طبیعیای با نظریه دارند. نظریههای حقیقی i را ندارند، اما توانایی چرخش بردارها را تقلید میکنند. ما «اعداد مرکب را با استفاده از اعداد حقیقی شبیهسازی میکنیم»، آنتون تراوشچکین، فیزیکدان در دانشگاه هاینریش هاینه در دوسلدورف و همنویسنده مقالهٔ آلمانی، گفت.
نُرث، فیلسوف فیزیک، با لو موافق است. «اگرچه اعداد مرکب لزوماً ضروری نیستند، اما فرمولهای را ایجاد میکنند که بهطور خاص برای مکانیک کوانتومی مناسب بهنظر میرسد»، او گفت. هدف او «شناسایی چیزی است که بهطور ویژه کوانتومی باشد» که به این تناسب خوب کمک میکند. یکی از امکانات ممکن، اسپین است؛ ویژگی ذرات کوانتومی که معادل کلاسیکی ندارد.
حضور باقیماندهٔ اعداد مرکب در نظریههای حقیقی برخی پژوهشگران را به تامل میاندازد؛ گزارشهای مرگ i ممکن است کمی اغراقآمیز باشد. «میتوانید آنها را به هر شکلی که میخواهید بنویسید، اما اجتنابناپذیر است که آنها دقیقاً همانطور که اعداد مرکب ضرب میشوند، رفتار کنند»، ولاتکو ودرال، فیزیکدان دانشگاه آکسفورد، گفت. ترجیح او این است که اصول سادهتری برای مکانیک کوانتومی پیدا کند — اصول شهودی که بتوانند نظریهپردازان را قادر سازند تا نظریه را بهصورت کاملاً جدیدی بازآفرینی کنند.
«ما واقعاً یک گزینهٔ جایگزین برای نحوهٔ انجام مکانیک کوانتومی که صد سال پیش انجام میشد نداریم»، او گفت. «و سؤال این است: چرا؟ چرا نمیتوانیم فراتر از این پیش برویم؟»
